范德蒙行列式

范德蒙行列式是线性代数的知识。

范德蒙行列式的形式为：

$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ a& b& c& d\\ a^2& b^2& c^2& d^2\\ a^3& b^3& c^3& d^3\end{array}\right|$

有时为方便记忆，也记作：

$\left|\begin{array}{cccc}{a}^0& b^0& c^0& d^0\\ a^1& b^1& c^1& d^1\\ a^2& b^2& c^2& d^2\\ a^3& b^3& c^3& d^3\end{array}\right|$

即每列分别是 a b c d 参数的指数型，指数值为(当前行数-1)。

范德蒙行列式值的计算

范德蒙行列式值有以下式子快速计算：

$\mathsf{D}=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ a& b& c& d\\ a^2& b^2& c^2& d^2\\ a^3& b^3& c^3& d^3\end{array}\right|=(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a)$

即 a b c d 参数依次减去靠前的参数，差相乘。

例如：

当$a=1$，$b=2$，$c=3$，$d=4$时，计算范德蒙行列式：

$\mathsf{D}=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4\\ 1^2& 2^2& 3^2& 4^2\\ 1^3& 2^3& 3^3& 4^3\end{array}\right|=(4-3)\times (4-2)\times (4-1)\times (3-2)\times (3-1)\times (2-1)=1\times 2\times 3\times 1\times 2\times 1=12$