联合分布

“联合分布律” (Joint Distribution Law) 是指描述两个或多个随机变量同时取值的概率规律。它告诉我们，在多个随机变量组成的系统中，它们各自取特定值的可能性如何组合在一起。

根据随机变量是离散的还是连续的，联合分布律有不同的表现形式：

1. 离散型随机变量的联合分布律 (Joint Probability Mass Function - Joint PMF)

• 定义: 如果 (X,Y) 是一个二维离散随机变量，那么它的联合分布律（或称为联合概率质量函数）是函数 p(x,y)，它给出 X 取值为 x 且 Y 取值为 y 的概率： $p(x,y)=P(X=x,Y=y)$
• 性质:
  • p(x,y)≥0 对于所有的 x,y。
  • 所有可能的 (x,y) 对的概率之和等于 1：$$\sum _x\sum _{y}p(x,y)=1$$ （这里 x 和 y 分别遍历它们所有可能的值）
• 例子: 掷两次骰子。设 X 是第一次掷出的点数，Y 是第二次掷出的点数。
  • X 的可能值为 {1,2,3,4,5,6}。
  • Y 的可能值为 {1,2,3,4,5,6}。
  • 联合分布律 $p(x,y)=P(X=x,Y=y)=\frac{1}{36}$，对于所有 x,y∈{1,2,3,4,5,6}。
  • 这个规律可以表示为一个 6x6 的表格。

2. 连续型随机变量的联合分布律 (Joint Probability Density Function - Joint PDF)

• 定义: 如果 (X,Y) 是一个二维连续随机变量，那么它的联合分布律（或称为联合概率密度函数）是函数 f(x,y)。注意，f(x,y) 本身不是概率，而是概率的“密度”。概率是通过对密度函数在某个区域上进行积分来得到的。
• $P(a\le X\le b,c\le Y\le d)={\int }_a^b{\int }_c^{d}f(x,y)dydx$
• 性质:
  • f(x,y)≥0 对于所有的 x,y。
  • 整个二维平面上的概率密度积分等于 1： $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\iint }}f(x,y)dxdy=1$
• 例子: (X,Y) 在由 $y=x^2,y=x^2/2,x=1$ 围成的区域 G 上服从均匀分布。
  • 联合分布律（联合概率密度函数）是： $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}6,& (x,y)\in G\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
  • 这个函数定义了 (X,Y) 在区域 G 上的概率如何“均匀分布”。

3. 联合累积分布函数 (Joint Cumulative Distribution Function - Joint CDF)

这是一个更通用的概念，适用于离散和连续随机变量。

• 定义: 对于二维随机变量 (X,Y)，其联合累积分布函数 F(x,y) 定义为： F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
• 作用: 它给出了 X 和 Y 的值同时小于或等于指定值 x 和 y 的概率。
• 与 PMF/PDF 的关系:
  • 对于离散变量：$F(x,y)=\sum _{x_i\le x}\sum _{y_j\le y}p(x_i,y_j)$
  • 对于连续变量：$F(x,y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{y}{\int }}f(u,v)dvdu$
  • 反过来，对于连续变量，可以通过对 CDF 求偏导得到 PDF：$f(x,y)=\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}$
• 性质:
  • 0≤F(x,y)≤1
  • F(x,y) 关于 x 和 y 都是非递减的。
  • $\underset{x\to \mathrm{\infty },y\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x,y)=1$
  • $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x,y)=0$ 且 $\underset{y\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x,y)=0$

总结:

“联合分布律”是描述多维随机变量概率行为的总称。具体是 PMF（离散）还是 PDF（连续），取决于随机变量的类型。它们共同定义了变量之间的依赖关系以及它们取值的可能性。