级数

级数是高等数学中的概念。级数记作：

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=u_0+u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots$

并且，令级数

$S(n)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$

若级数满足条件

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }S(n)=A$，$A\in \mathbb{ℝ}$

则称该级数收敛。

无穷级数及其性质

若级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$收敛，则$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n=0$。

级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}k{u}_n$和级数$k\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$具有相同的敛散性。

若级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$收敛，级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(u_n\pm v_n)$收敛。

若级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$收敛，级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$发散，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(u_n\pm v_n)$发散。

特别地，若级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$和级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$都发散，那么级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(u_n\pm v_n)$无法直接确定敛散性。

常用参照级数

几何级数

参考：几何级数

几何级数记作：

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^n$

当$\left|p\right|<1$，该级数收敛；

当$\left|p\right|\ge 1$，该级数发散。

调和级数

参考：调和级数

调和级数记作：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}$

当$p>1$，该级数收敛；

当$p\le 1$，该级数发散。